GESERAN (TRANSLASI)

1.      Pengertian Translasi

Translasi adalah suatu transformasi yang memindahkan semua titik pada bidang dengan jarak yang sama dan arah yang sama.

Definisi : Suatu padanan G dinamakan suatu geseran apabila ada garis berarah   sehingga setiap titik P pada bidang menjadi G(t) = P’ dan =

Teorema 10.1

            Andaikan g dan h dua garis yang sejajar. Apabila ada dua titik A dan B maka  =   dengan A^’’ = M_hMg ( A ) dan B^’’ = M_hM_g (B).

Bukti : Kita pilih sebuah sistem koordinatdengan  misalnya h sebagai sumbu y dan sebuah garis tegak lurus pada g, sebagai sumbu x.

 Andaikan A= ( a_1,a₂ ) dan B= ( b_{1 ,}b₂ ). Kalau N tengah-tengah ruas garis   maka harus dibuktikan S_N ( A ) = B”. Andaikan persamaan h adalah x = k ( k . Apabila P = ( x,y ) dan P’ = M_h (P) maka  memotong h di sebuah titik Q

 ( k,y ) dengan Q sebagai titik  , jadi P’ = M_h P = ( 2k-xy ) sedangkan M_g P = ( -x,y ). Jadi M_hM_g (P) = M_h [ ( -x,y ) ] = ( 2k + x,y ).

Jadi pula A” = M_hM_g (A) = ( 2x + a_1.a₂ )

    B” = M_hM_g (B) = ( 2x + b_1.b₂ )

Oleh karena N  titik tengah , maka

N =

Sedangkan S_N (A) =

S_N (A)  ₌ ( 2k + b₁.b₂ ) = B”

Dengan demikian maka  +

Disetiap ruas garis berarah, dengan pangkal sebuah titik dan akhir di titik petanya oleh M_hM_g adalah ekivalen dengan setiap garis berarah seperti di atas. Jadi hasil transformasi M_hM_g seakan-akan penggeser setiap titik sejauh jarak dan searah. Transformasi demikian dinamakan translasi.

Teorema 10.2 : Apabila  =   maka G_ab = G_cd

Bukti : Jika X sebarang, maka harus dibuktikan G_AB (X) = G_CD (X).

Andaikan G_AB  (X) =  X ₁ dan  G_CD (X) =X ₂

Jadi                               =   dan   =

Karena  =  maka  =  . Ini berarti bahwa X₁=X₂ sehingga G_AB = G_CD.

Contoh :

Diberikan tiga titik A, B, dan P yang tak kolinear.

Lukisllah :

a). Titik P’ sehingga G_AB (P) = P dan

b). Titik P” sehingga G_AB (P”) = P

PENYELESAIAN :

a. Karena G_AB (P) = P’ maka  =  atau  =  . Dengan pengetahuan ruas garis berarah,anda dapat lukis titik P’ yang memenuhi syarat di atas.

b. Karena P = G_AB (P”) maka  =  atau  =  juga dengan pengetahuan anda mengenai ruas garis berarah anda dapat melukis titik P” yang memenuhi syarat di atas -size:11.0pt;line-height:150%;font-family:"Calibri","sans-serif"; mso-ascii-theme-font:minor-latin;mso-fareast-font-family:Calibri;mso-fareast-theme-font: minor-latin;mso-hansi-theme-font:minor-latin;mso-bidi-font-family:"Times New Roman"; mso-bidi-theme-font:minor-bidi;position:relative;top:24.0pt;mso-text-raise: -24.0pt;mso-ansi-language:EN-US;mso-fareast-language:EN-US;mso-bidi-language: AR-SA'>  . Dengan pengetahuan ruas garis berarah,anda dapat lukis titik P’ yang memenuhi syarat di atas.